2014.09.10.
Órán megbeszéltek
Gyök 2 irracionális. Kétféle bizonyítása.
Indirekt bizonyítási módszer. (Hétköznapi példa?)
Gyök 3, 4, ... racionális, vagy sem?
1+gyök 2 rac/irrac?
Lehet-e két irracionális összege, különbsége, szorzata racionális/irracionális?
Három irracionális szám bármely páronként vett összege lehet-e racionális?
Racionális számkonstrukciók, szakaszos végtelen tizedestörtek átírása. (Ötlet, s ami mögötte van... végtelen mértani sor, konvergencia...)
0,99999..., 0,33333..., 0.37657657765...
Otthoni meggondolásra
Irracionális számok konstruálása.
0,12345678910111213... rac/irrac?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.09.17.
Órán megbeszéltek
KöMaL
További indirekt módszerrel történő bizonyítások (pl. geometriai biz-ok)
Hf feladatai
sin 5°, log_5 2 irrac. (valamint a középiskolai ismeretek, trig. azonosságok, nevezetes szögek (30°, 36°,45°, 60°), ...)
Feladatok megoldása - építőkockák megkeresése
Skatulya-elv bevezetése.
Alapfeladatok: osztályban lévő azonos hónapos szülünaposok száma, zokni a fiókból, ...
Igazold, hogy tetsz. 5 egész közül kiválaszthatok hármat, melyek összege hárommal oszható.
Az 1, 2, 3, ..., 100 számok küzül kiválasztunk 27-et. Igazold, hogy van köztük kettő, ami nem relatív prím.
Otthoni meggondolásra
tg 5°, tg 1° irrac.
2014|2^n - 2^m
8x8-as táblán 33 pont. Igazol, hogy van közöttük három, melyek által alkotott háromszög területe legfeljebb 2.
Egy sík minden pontját kékre vagy pirosra színezzük. Biz. be, hogy találok olyan két pontot, melyek távolsága adott távolsággal egyenlő.
A háromhatványok között van olyan, ami 0001-re végződik.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.09.24.
Órán megbeszéltek
Hf feladatai
2014|2^n - 2^m
8x8-as táblán 33 pont. Igazold, hogy van közöttük három, melyek által alkotott háromszög területe legfeljebb 2.
Egy sík minden pontját kékre vagy pirosra színezzük. Biz. be, hogy találok olyan két pontot, melyek távolsága adott távolsággal egyenlő.
A háromhatványok között van olyan, ami 0001-re végződik.
Sejtés <--> bizonyítás kapcsolata. ("prímszámgenerátor" polinom, kör részekre osztása, ...)
Fejszámolási trükkök...
Teljes indukció biz. módszere. Hogyan vezessük be? Mi szerepeljen a leírásban?
Otthoni meggondolásra
A sík minden pontját három színnel kiszínezzük. Igaz-e, hogy lesz két azonos színű, melyek távolsága adott valós számmal egynelő.
Igaz-e, hogy a Fibonacci-sorozat elemeinek utolsó számjegyéből álló sorozat periodikus?
A négyzetrácson öt rácspontot kijelölve, s azokat összekötve lesz olyan szakasz, mely rácsponton halad át.
Legfeljebb hány különböző prímet lehet megadni úgy, hogy közülük bármely 3 összege prím legyen?
7 egész között van négy, melyek összege osztható néggyel-
Gondolkodtató logikai feladvány. (Házasságtörő asszonyok...)
Teljes indukcióval: első n, n^2, n^3, ... összege.
Hogyan lehet megsejteni ezeket az összegeket?
1/2-től 1/2^n-ig öszegezve a számok reciprokát az nagyobb n/2-nél.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.10.01.
Órán megbeszéltek
Hf: Két kettőhatvány különbsége osztható 2013-mal.
Az 1, 11, 111, 1111, ... sorozatban van háromhatvány.
A sík minden pontját három színnel kiszínezzük. Igaz-e, hogy lesz két azonos színű, melyek távolsága adott valós számmal egynelő.
A négyzetrácson öt rácspontot kijelölve, s azokat összekötve lesz olyan szakasz, mely rácsponton halad át.
7 egész között van négy, melyek összege osztható néggyel.
Gondolkodtató logikai feladvány. (Házasságtörő asszonyok...)
1/2-től 1/2^n-ig öszegezve a számok reciprokát az nagyobb n/2-nél.
Otthoni meggondolásra
Bizonyítás teljes indukcióval pl. oszhatóság témakörében. Javasolt feladatok Sárga Bohóc 52. oldal. (Ami nem megy egyszerű szorzattáalakítással, azt meg kellene próbálni teljes ind-val. A többivel is lehet játszani... Az 53. oldal se rossz...)
9|4^n+15n-1
Adott a síkon n számú nem egy egyenesre illeszkedő pont (n>2). Mutassuk meg, hogy minden pontot össze lehet kötni néhány más ponttal úgy, hogy az így kapott szakaszok nem metszik egymást, s egy háromszögekre bontott konvex sokszöget alkotnak!
Adott n (>2) szakasz, mindegyik legalább egységnyi hosszú. Tudjuk, hogy akármelyk k számút (k=3, 4, ..., n) választjuk is ki közülük, ezek nem lehetnek egy sokszög oldalai. Igazoljuk, hogy szakaszok összhossza nagyobb, mint 2^(n-1)!
Bizonyítsd be tetszőleges n elem esetén a számtani és mértani közép közötti összefüggést!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.10.08.
Órán megbeszéltek
Oszthatósági feladatok azonosságok alapján, szorzattá alakítással
Oszth. fel. teljes ind-val --> Módszer alkalmazhatósága.
KöMaL - Min. C gyak.
Adott n nem koll. pont, összekötjük háromszögekkel, konvex alakzat... --> Konstrukció.
Adott n (>2) szakasz, mindegyik legalább egységnyi hosszú. Tudjuk, hogy akármelyk k számút (k=3, 4, ..., n) választjuk is ki közülük, ezek nem lehetnek egy sokszög oldalai. Igazoljuk, hogy szakaszok összhossza nagyobb, mint 2^(n-1)! --> Tanult módszer alkalmazása.
Számtani és mértani közép közti öf. ált. biz. --> Ötletek, trükkök tanulása.
Közepek
Otthoni meggondolásra
További oszth. fel-ok
Adott 14 mókus egy-egy fán körben. Percenkét kettő egy szomszédos fára ugrik. Lehetnek egy valamikor mind egy fán?
Egy kocka csúcsaiban számok, s egy él mentén lévőket növelem egy-egy lépésben. Lehet-e minden csúcs valamikor azonos értékű, ha
i) kezdetben egy csúcsban 1, a többiben 0 van?
ii) egy lap szembenlé csúcsaiban egy-egy 1-es, a többiben 0 van?
Egy 10x10-es terület 9 parcellája parlagfüves. Lehetséges-e, hogy az egész az lesz, ha a mezők úgy válnak fertőzötté, ha két szomszédja fertőzött?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.10.15.
Órán megbeszéltek
KöMaL C. feladat, 2014. szeptember (grafikus megoldás, polinom-osztás, ...)
Invariancia (mókusok, kocka, parlagfüves telek, ...)
Közepek egy geom-i ábrán
Szélsőértékfeladatok közepekkel (téglalapok, fél-téglalapok, ...)
Otthoni meggondolásra
Egy négyzet csúcsaiba beírunk egy-egy számot. Egy lépésben két szomszédos csúcsba írt számot növelhetjük eggyel. Elérhető, hogy minden csúcsban ugyanaz a szám álljon? Ha igen, hány lépésben? i) 1;0;0;0 ii) 1;0;1;0 iii) 2;1;3;4 iv) Milyen feltételt adhatunk a csúcsokba írt számokra, hogy a kitűzött cél megvalósítható legyen?
Egy két egység kerületű egyenlő szárú háromszög területe mikor lesz maximális?
A gyémánt ára arányos a tömegével. Az ékszerésznek n db-ra kell vágni. Hogyan vágja fel az m tömegű gyémántot, ha azt szeretné, hogy az összérték maximális legyen?
Adott kerületű háromszögek kzül melyikben lesz az oldalak reciprokösszege minimális?
A K kerületű háromszögek közül melyikben lesz a súlyvonalak négyzetösszege minimális?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.10.22.
ZH
Otthoni meggondolásra a ZH feladatai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.05.
Órán megbeszéltek
a dolgozat feladatai, értékelés
Egy matematikaversenyen a versenyzők 85%-a megoldotta az első, 80%-a a második és 75%-a a harmadik feladatot. Legalább hányan oldották meg mindhárom feladatot? (Lehetséges a megoldás?)
Egy sakktáblán hányféleképpen helyezhetünk el egy a) két egyforma, b) két különböző bástyát?
... és ha nem lehetnek ütési pozícióban? Legfeljebb hány bástyát (futót, lovat) helyezhetünk el úgy, hogy ne üssék egymást?
Hogyan lehet Venn-diagramot rajzolni? (három darabos, négy darabos)
Otthoni meggondolásra
Egy 33-as osztályban minden gyerek minden nap sportol, mégpedig 22-en mennek úszásra, 22-en mennek focizni. Akik ma focizni mentek, azok közül tegnap 15-en fociztak, 15-en pedig úsztak. A ma úszók közü tegnap ugyancsak 15-en úsztak és 15-en fociztak. Hányan vannak azok, akik ma is, tegnap is voltak úszni?
Egy vándor betér egy fogadóba. Nincs nála pénz, csak egy 7 cm hosszú, 4 mm átmérőjű aranyrúd. A fogadós elfogadja, hogy a vándor egy éjszakára egy darab 1 cm hosszú aranyrúddal fizet. A vándor hét napot szeretne maradni. A fogadós a megkapott aranyardakkal vissza is tud adni. Hány vágással ossza fel az aranrudat, hogy a legkevesebb vágásra legyen szükség?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.12.
Órán megbeszéltek
Sorban 17 bab, el lehet venni 1 vagy 2 szomszédost. Az nyer, aki az utolsót elveszi. Kinek van nyerő stratégiája? n db bab esetén? Mi a stratégia?
Az előző feladat, de körben vannak a babok?
21 bab egy kupacban. Felváltva húzunk 1-2-3 babot. Az nyer, aki utolsónak vesz. Most ki nyerhet? Mi a stratégia? n bab esetén?
n bab, 2-3-4-5-öt lehet elvenni. i) Az nyer, aki utolsónak vesz. ii) Az vezt, aki az utolsót elveszi. Stratégia?
p^n babot vehetünk el. Stratégia? (p prím)
2^k db babot lehet elvenni. Stragétia?
Melyik milyen oszthatóságot vezet be? Maradékok? Mire egészítsük ki? Milyen a végjáték? Egyáltalán, mi a vége? "Hátulról" kezdjünk neki!
Mindig van valakinek nyerő stragétiája?
Otthoni meggondolásra
21 kavics egy kkupacban. Felváltva húzunk 1-2-3 kavicsot. Az nyer, aki utolsónak vesz el két kavicsot. Most ki nyerhet? Mi a stratégia? n bab esetén?
További NIM-játékok. (2, 3, ..., n kupac bab, ...)
Plusz pontért: Fibonacci-NIM. 1 kupac bab, felváltva min. egyet el kell venni, de legfeljebb az előző játékos által húzott kétszeresét. az nyer, aki az utolsót elveszi. A kezdő tetszőleges számút elvehet. Részletes magyarázat kell leírva.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.19.
Órán megbeszéltek
Aranyrudas és aranyláncos feladatok
Két haramia osztozkodik: 1-et nekem, 2-t neked, 3-at neked, 4-et nekem, ... Lehet ez igazságos? Milyen n-ek esetén?
Öt szám páronként vett összegei: -7, -4, -1, -1, 2, 2, 2, 5, 5, 8. Határozzuk meg a számokat!
Otthoni meggondolásra
Egy 36 emeletes ház emeleteiről tojást dobunk ki, hogy megtudjuk, melyik az a legmagasabb emelet, melyről a tojást kidobva az eltörik. Adott két tojás. Legkevesebb hány mérésből tudjuk megállapítani, hogy melyik emelet esetén törik el a tojás? (Ha egy emeletről ledobva eltörik, akkor feljebbről is, s ha pedig nem, akkor lejjebbről sem törik el. Minden tojás egyformán viselkedik.)
Egy teknőc hat percig mozog egy egyenes mentén. Az út mentén megfigyelők állnak: i) minden megfigyelő pontosan egy percig folyamatosan nézi a teknőc mozgását, ii) minden pillanatban legalább egy ember figyeli a teknőcöt. Mindegyi megfigyelő azt állapítja meg, hogy 1 métert haladt előre a teknőc. Mekkora a minimális, ill. maximális távolság, amit a teknőc a hat perc alatt megtehetett?
Egy rabnak a király szabadulást biztosít, s feleségül adja hozzá a lányt, ha meg tudja mondani, melyik ajtó mögött van a hölgy. Ha elvéti, s tigris van az ajtó mögött, akkor el sem tudjuk képzelni a következményeket. A király elmagyarázza, hogy ha a val oldali szobában (I. szoba) hölgy van, akkor aj ajtaján lévő felirat igaz, ha viszont ott tigris van, akkor a felirat hamis. A jobb oldali szobával (II. szoba) éppen ellenkező a helyzet. Természetesen lehetséges, hogy mindkét szobában hölgy van, s az is, hogy mindekettőben tigris, de lehet, hogy egy tigris, egy hölgy. Az I. szoba felirata: MINDKÉT SZOBÁBAN HÖLGY VAN. A II. szoba felirata: MINDKÉT SZOBÁBAN HÖLGY VAN. Melyik szobát válassza a rab?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.26.
Órán megbeszéltek
Szemérmes/magamutogató Teknőc, Törhetetlen strucctojás
További Hölgy vagy a tigrises feladatok
Fibonacci-számok, Fibonacci-számrendszer
Otthoni meggondolásra
KöMaL-feladatok, idei OKTV (2014. I. forduló, II. kategória)
Egy kígyó a fejétől a farkáig 5 lépés, farkától a fejéig 15 lépés. Milyen hosszú a kígyó?
Egy favágó fatörzset húz. A szembe jövő turista mellett elhaladva 12 lépés hosszúnak találja, majd megfordul, s leméri visszafelé is. Ekkor 17 lépés a fatörzs. Milyen hosszú a fatörzs valójában?
Pisti és János egymással szemben indulnak biciklivel, a köztük lévő távolság 20 km. Pisti 15, Jancsi 20 km-t tesz meg óránként. Jancsi orráról az indulás pillanatában egy dongó felszáll, s átrepül Pisti orrára, majd vissza, s ismét oda, ... Egészen addig repül a dongó, míg végül a két kerékpáros nem találkozik. Hány km-t tesz meg a dongó, ha sebessége 60 km óránként?
Két család, az Igaz és a Hamis 5 gyermeke: Cili, Lili, Vili, Juci és Saci. Az Igaz családban minden gyerek mindig igazat mond, a Hamis családban minden gyermek minden állítása hamis. Melyik gyermeknek mi lehet a vezetékneve, ha a következőket állítják:
Cili: Juci neve nem Igaz.
Juci: Vili és Cili testvérek.
Lili: Saci nem testvére Jucinak.
Saci: Vili vezetékneve Hamis.
Vili: Lili a Hamis család tagja.
Igaz-e, hogy ha egy társaságban a szőkék között gyakoribbak a kékszeműek, akkor a társaságban a kékszeműek között gyakoribbak a szőkék?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.12.03.
Órán megbeszéltek
Fizikai példák (kígyó, favágó, dongó, ...)
Geometriai feladatok (szerkeszthetőség = kiszámolhatóság; diszkusszió; szerkesztés lépései; többféle megoldási gondolatmenet; ...)
Adott egy egyenlőszárú háromszög kerülete és szárszöge. Szendő a háromszög.
Milyen utat fut be a fény A-ból B-be a tükröt érintve?
Adott egy szögtartomány, s benne egy pont. Rajzoljunk olyan szabályos háromszöget, melynek kp-ja az adott pont, s két csúcsa illeszkedik a szögszárakra!
Adott háromszögbe írjunk szabályos háromszöget, ha adott az egyik oldalon egy pont, mely a szabályos háromszög egy csúcsa!
Ajánlott a Geometriai Fgy.
Otthoni meggondolásra
Adott szögtartomány csúcsából indulva egyenlő szakaszokat írunk, melyek végpontjai felváltva helyezkednek el a szögszárakon. Hánat írhatunk rájuk?
Szerkessz háromszöget, ha adott a kerülete, egyik szöge, s az azt közrefogó oldalak közül az egyikhez tartozó magassága!
Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, amelynek az alaphoz tartozó magassága 4,2 cm, szárához tartozó magasága pedig 3,8 cm!
OKTV - 2015. I. ford. II. kat. feladatai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.12.10.
ZH megírása. A kijavított dolgozatok eredményeit kiteszem ismét a honlapra a Neptun-kódokkal. A dolgozatok megtekintése előzetes egyeztetéssel történik legkésőbb december 19-ig. Ekkor beírásra kerülnek a megajánlott gyakorlati jegyek. (Egyeztetés: petiba68 kukac gmail.com, vagy 70/38-15-722) A legegyszerűbb az órarendemet megnézni. Az ELTÉ-s óráimban szívesen be is jövök az egyetemre...
Otthoni meggondolásra
A ZH feladatai.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Egy kalappal a vizsgákhoz!