a

b

c

d

Egy körben két egymást metsző, egymásra merőleges húrt rajzoltunk.
 Igazoljuk, hogy a húr négy szeletének négyzetösszege mindig ugyanakkora.

Legyen az egyik húr az AB, a másik a CD, metszéspontjuk legyen P.
 A szeletek hosszai a=AP, b=BP, c=CP, d=DP. 
Állítsuk őket úgy, hogy a≥b és c≥d.

AB felezőpontja legyen E, CD felezője pedig F. A kör középpontja legyen O. 
Az ugye egyértelmű, hogy EO merőleges AB-re, FO pedig CD-re 
(hiszen a húrfelező merőlegesek a kör középpontjában metszik egymást). 

Lép

Vissza

Nézzük az AEO derékszögű háromszöget: 

AE = (a+b)/2 
EO = PF = c - (c+d)/2 = (c-d)/2 
AO = r a kör sugara 

Pitagorasz: r² = (a+b)²/4 + (c-d)²/4 
4r² = a²+b²+2ab+c²+d²-2cd 

r

r

Na most lehet, hogy tudod, hogy ab=cd teljesül a húrok esetén. 
Ha nem tudod, akkor is kijön mondjuk úgy is, hogy nézzük 
teljesen  hasonlóan a DFO háromszöget: 

DF = (c+d)/2 
FO = PE = a - (a+b)/2 = (a-b)/2 

r² = (c+d)²/4 + (a-b)²/4 
4r² = c²+d²+2cd+a²+b²-2ab 

r

A két  4r²  persze  azonos, ebből következik, hogy: 
a²+b²+2ab+c²+d²-2cd = c²+d²+2cd+a²+b²-2ab 
4ab = 4cd 
ab = cd 

Akkor pedig a²+b²+c²+d² = 4r², tehát állandó.

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas - tanfolyamok - hazifeladat-kerdesek - 2796164
A szöveges megoldás:     bongolo válasza

O = Intersect(xAxis, yAxis)
B_1 = Point(xAxis)
c = Circle(O, B_1)
P = (1.5265419238741174, 1.0740316852836636)
a = OrthogonalLine(P, xAxis)
b = OrthogonalLine(P, yAxis)
A, B = Intersect(c, a)
D, C = Intersect(c, b)
d = Segment(A, P)
e = Segment(P, B)
f = Segment(C, P)
g = Segment(P, D)
h: d^(2) + e^(2) + f^(2) + g^(2)
β = Angle(C, B, P)
α = Angle(P, D, A)
i = Segment(B, C)
j = Segment(A, D)
m: e / g
o: i / j
k: i^(2) + j^(2)
p = Segment(D, B)
l = Segment(A, C)
E = Midpoint(A, B)
F = Midpoint(C, D)
q = Segment(E, O)
r = Segment(F, O)
γ = Angle(O, E, B)
δ = Angle(D, F, O)
n = 2 (slider from -5 to 5, step 1)
s = Segment(A, O)
a_1 = Segment(D, O)
poligon1, o_1, a_2, e_1 = Polygon(A, E, O)
poligon2, o_2, d_1, f_1 = Polygon(D, F, O)