2019.09.11. Óramegbeszélés, feladatok felmérése, értékelési rendszerünk (aktív részvétel, két ZH jó eredménye, azok átlaga + javítás...) A következő órától ... A gyakorlat leírása, ajánlott irodalom a mathdid.elte.hu oldalon várható... ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.09.18. Bevezetés. Racionális és irracionális számok képzésük, indirekt biz. módszer rac. és irrac számok összege, különbsége, szorzata, ... racionális számok: véges/végtelen ismétlődő - feltételek végtelen mértani sor, végtelen szakaszosan ism. tizedestörtek átírása (+iskolai buktatók) Otthoni meggondolásra: sin(5°), tg(5°), log_2(3) irrac. Lehet-e két irracionális szám összege és szorzata is racionális? Lehet-e két irracionális szám sszege és különbsége is racionális? Van-e három olyan irracionális szám, melyek közül bármely kettő összege racionális? Milyen szám a gyök kettő és a köbgyök kettő összege? Biz. be, hogy ha x, y, sqrt(x)+sqrt(y) rac., akkor sqrt(x) és sqrt(y) is rac. Milyen szám a 0,1234567891011121314...? Képezzük n!-ok reciprokértékeinek végtelen összegét. Milyen számot kapunk? Lehet-e egy végtelen sok elemű számtani sorozat elemei között pontosan két racionális? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.09.25. Indirekt bizonyítási módszer használata Lehet-e két irracionális szám összege és különbsége is racionális? Van-e három olyan irracionális szám, melyek közül bármely kettő összege racionális? Biz. be, hogy ha x, y, sqrt(x)+sqrt(y) rac., akkor sqrt(x) és sqrt(y) is rac. sin(15°), sin(5°), log_2(3) irrac. összemérhetőség fogalma, párhuzamos szelők tétele sqrt(2), sqrt(3), ... szerkesztése számológép számításai, több jegy kinyerése, mértani sor fogalma Otthoni meggondolásra Milyen szám a gyök kettő és a köbgyök kettő összege? Srága Bohóc III. fejezet 212-es feladata sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, sin6 nagyság szerinti sorrendje ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.10.02. Algebrai átalakítások négyzetgyök, n-dik gyök, műveletek és tulajdonságaik, gyöktelenítés megoldási lehetőségek, trükkök SB.: III. fejezet 212., 232., ... Otthoni meggondolásra SB.: 46. oldal 156. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.10.09. - az óra fél hatkor kezdődik kivételesen Algebrai átalakítások, szorzattábontások Oszthatósági feladatok megoldása különféle módszerekkel - szorzattá alakítás - maradékosztályok - oszthatósági szabályok - teljes indukció Teljes indukció lépései SB. 52. oldal 146-os feladata Otthoni meggondolásra SB. II. fejezet 146., 151., 156., 157. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.10.16. Bizonyítási módszerek, többféle út (SB. 52-53. oldal) 333...33 * 333...33 = 111...110999...99888...889 m db n db n-1 m-n n-1 Otthoni meggondolásra a maradék feladatok (666...66)^2 + 888...88 = 444...44 n db n db 2n db ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.11.06. ZH Diofantoszi egyenletek Miért nem négyzetszám? (végződés, pírmtényezős felb., 3-mal ill. 4-gyel való oszthatóság, ...) 1!+2!+3!+...+100! 1^2+2^2+3^2+...+56^2 111...11 100 db egyes 444...44 100 db 4-es 10^100+10^50+1 abab ababab acabc 1, 2, 3, 4, 5, 6 tetsz. hatjegyű permutációja 3+3^2+3^3+...+3^100 3!+9!+27!+...+3^100! 100!+5 1234567892 171717...17 100 db 17 717171...71 100 db 71 222...22 100 db Otthoni meggondolásra Miért nem négyzetszám? n^4+2n^3+2n^2+2n+1 n-gy egymást köv. egész szorzata 3 egymást köv. négyzetszám összege abc+ab+ac+bc+a+b+c=1000 a^2=b^2+2b+13 a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.11.13. A ZH feladatai, értékelése. Közepek, köztük lévő öf-ek és bizonyítások. f(x)=(x^2+1)/x ábr. Téglalap kerülete adott, mikor max. a területe? Téglalap három oldalának össezge konstans, mikor maximális a területe? Otthoni meggondolásra Egyenlőszárú háromszög kerülete 20. Mikor maximális a területe? g(x)=(x^2+4)^2/x^2 a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c) ab/(a+b) + ac/(a+c) + bc/(b+c) <= (a+b+c)/2 a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2 tg(x)+ctg(x)=1/2 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2 sqrt(a/(b+c)) + sqrt(b/(a+c)) + sqrt(c/(a+b)) > 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.11.20. Feladatok közepekre Otthoni meggondolásra g(x)=(x^2+4)^2/x^2 ab/(a+b) + ac/(a+c) + bc/(b+c) <= (a+b+c)/2 a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2 tg(x)+ctg(x)=1/2 sqrt(a/(b+c)) + sqrt(b/(a+c)) + sqrt(c/(a+b)) > 2 a^4+1 > a Mennyi lesz legalább abc értéke, ha a+2b+3c=15? Adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne? Hogy szól ennek a duálisa? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.11.27. 2019.es OKTV II. kat. I. ford. feladatai Otthoni meggondoásra Adott felszínű téglatestek küzl melyiknek maxinális a térfogata? f(x)=(x^4+2x^3+3x^2+2x^2+2x+1)/(x^2+x+1) min. x>=0 esetén? f(x;y;z)=(x+y+z)^6/(xy^2z^3) szélsőértéke x, y, z poz. számok esetén? f(x)=3x^5 + 5/x^3 min. x>0 esetén? stb. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.12.04. Nehezebb egyenletek megoldási ötletei x + x/sqrt(x^2-1) = 35/12 sqrt()x^2+17x+4) + sqrt(x^2+11x+3) = (2x-1)/5 stb. közepes feladatok: Adott felszínű téglatestek közül melyiknek maximális a térfogata. Az előző duálisa: adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne? stb. Otthoni meggondolásra Közepekkel való feladatok Ismétlés... ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2019.12.11. záró-ZH A dolgozat eredményéről mindenki levélben lesz értesítve. Aki nem válaszol 24 órán belül erre, azt úgy veszem, hogy elfogadta.