2014.09.12.
Órán megbeszéltek
Gyök 2 irracionális. Kétféle bizonyítása.
Indirekt bizonyítási módszer. (Hétköznapi példa?)
Gyök 3, 4, ... racionális, vagy sem?
1+gyök 2 rac/irrac?
Lehet-e két irracionális összege, különbsége, szorzata racionális/irracionális?
Otthoni meggondolásra
Három irracionális szám bármely páronként vett összege lehet-e racionális?
Racionális számkonstrukciók, szakaszos végtelen tizedestörtek átírása. (Ötlet, s ami mögötte van... végtelen mértani sor, konvergencia...)
0,99999..., 0,33333..., 0.37657657765...
Irracionális számok konstruálása.
0,12345678910111213... rac/irrac?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.09.19.
Órán megbeszéltek
KöMaL
További indirekt módszerrel történő bizonyítások
Hf feladatai
sin 5°, log_5 2 irrac. (valamint a középiskolai ismeretek, trig. azonosságok, nevezetes szögek (30°, 36°,45°, 60°), ...)
Feladatok megoldása - építőkockák megkeresése
Skatulya-elv bevezetése.
Alapfeladatok: osztályban lévő azonos hónapos szülünaposok száma, zokni a fiókból, ...
Igazold, hogy tetsz. 5 egész közül kiválaszthatok hármat, melyek összege hárommal oszható.
Otthoni meggondolásra
KöMaL 2014. szeptemberi C-gyakorlatok (megbeszélés okt. 10. után)
tg 5°, tg 1° irrac.
Az 1, 2, 3, ..., 100 számok küzül kiválasztunk 27-et. Igazold, hogy van köztük kettő, ami nem relatív prím.
2014|2^n - 2^m
8x8-as táblán 33 pont. Igazol, hogy van közöttük három, melyek által alkotott háromszög területe legfeljebb 2.
Egy sík minden pontját kékre vagy pirosra színezzük. Biz. be, hogy találok olyan két pontot, melyek távolsága adott távolsággal egyenlő.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.09.26.
Órán megbeszéltek
Hf feladatai: tg 1° irrac.
2014|2^n - 2^m
van olyan háromhatvány
ami 0001-re végződik
8x8-as táblán 33 pont. Igazold, hogy van közöttük három, melyek által alkotott háromszög területe legfeljebb 2.
Egy sík minden pontját kékre vagy pirosra színezzük. Biz. be, hogy találok olyan két pontot, melyek távolsága adott távolsággal egyenlő.
7 egész között van négy, melyek összege osztható néggyel
Egyszerű gárfban van két azonos fokú csúcs.
Sejtés <--> bizonyítás kapcsolata. ("prímszámgenerátor" polinom, kör részekre osztása, ...)
Teljes indukció biz. módszere. Hogyan vezessük be? Mi szerepeljen a leírásban?
|A|=n ==> |P(A)|=2^n
Otthoni meggondolásra
A sík minden pontját három színnel kiszínezzük. Igaz-e, hogy lesz két azonos színű, melyek távolsága adott valós számmal egynelő?
Igaz-e, hogy a Fibonacci-sorozat elemeinek utolsó számjegyéből álló sorozat periodikus?
A négyzetrácson öt rácspontot kijelölve, s azokat összekötve lesz olyan szakasz, mely rácsponton halad át.
Legfeljebb hány különböző prímet lehet megadni úgy, hogy közülük bármely 3 összege prím legyen?
Teljes indukcióval: első n, n^2, n^3, ... összege.
Hogyan lehet megsejteni ezeket az összegeket? Pl. az első n^3 összege?
1/2-től 1/2^n-ig öszegezve a számok reciprokát az nagyobb n/2-nél.
Hozz példát teljes ind-val történő bizonyításra!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.10.03.
Órán megbeszéltek
Hf feladatai: Fibonacci utolsó jegyéből álló sorozat periodikus.
Fibonacci minden negyedik tagja osztható hárommal.
A sík minden pontját pirosra, kékre, ill. zöldre színezzük. Biz. be, hogy van egymástól 1 egységnyi távolságra két azonos színú pont.
Létezik-e az az ötszög, melyet a színezős ábrán kaptunk? Mit tudunk a szögeiről? (Minden oldala "a",
Végtelen tábla Milka-csoki. (Hol a hiba a gondolatmenetben.)
Az első n^2 összege, biz. teljes ind-val.
30|n^5-n
27|10^n+18n-1 (teljes ind.)
Otthoni meggondolásra
Teljes indukcióval: Sárga Bohóc példatár (NT-15135/i) 52-53. oldala
9|4^n+15n-1
Adott a síkon n számú nem egy egyenesre illeszkedő pont (n>2). Mutassuk meg, hogy minden pontot össze lehet kötni néhány más ponttal úgy, hogy az így kapott szakaszok nem metszik egymást, s egy háromszögekre bontott konvex sokszöget alkotnak!
Adott n (>2) szakasz, mindegyik legalább egységnyi hosszú. Tudjuk, hogy akármelyk k számút (k=3, 4, ..., n) választjuk is ki közülük, ezek nem lehetnek egy sokszög oldalai. Igazoljuk, hogy szakaszok összhossza nagyobb, mint 2^(n-1)!
Bizonyítsd be tetszőleges n elem esetén a számtani és mértani közép közötti összefüggést!
Nevetnek-e még a törpék?
Négy mogorva férfi, néhány arca kormos. Ha biztosan tudja, hogy kormos, leszállhat. A harmadiknál néhányan leszállnak. Hányan?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.10.10.
Órán megbeszéltek
Oszthatósági feladatok azonosságok alapján, szorzattá alakítással
Oszth. fel. teljes ind-val --> Módszer alkalmazhatósága.
KöMaL - Min. C gyak.
Adott n nem koll. pont, összekötjük háromszögekkel, konvex alakzat... --> Konstrukció. Bizonyítás telj. ind-val. (Dorottya)
Adott n (>2) szakasz, mindegyik legalább egységnyi hosszú. Tudjuk, hogy akármelyk k számút (k=3, 4, ..., n) választjuk is ki közülük, ezek nem lehetnek egy sokszög oldalai. Igazoljuk, hogy szakaszok összhossza nagyobb, mint 2^(n-1)! --> Tanult módszer alkalmazása, telj. ind. (Dorottya)
Számtani és mértani közép közti öf. ált. biz. --> Ötletek, trükkök tanulása.
Közepek - geometriai ábra (hf.)
Otthoni meggondolásra
További oszth. fel-ok (Sárga Bohóc 52-53. oldal)
Adott 14 mókus egy-egy fán körben. Percenkét kettő egy szomszédos fára ugrik. Lehetnek egy valamikor mind egy fán?
Egy kocka csúcsaiban számok, s egy él mentén lévőket növelem egy-egy lépésben. Lehet-e minden csúcs valamikor azonos értékű, ha
i) kezdetben egy csúcsban 1, a többiben 0 van?
ii) egy lap szembenlé csúcsaiban egy-egy 1-es, a többiben 0 van?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.10.17.
Órán megbeszéltek
KöMaL C. feladat, 2014. szeptember (grafikus megoldás, polinom-osztás, ...)
Közepek egy geom-i ábrán
Szélsőértékfeladatok közepekkel (téglalapok, fél-téglalapok, háromszögek, oldalak reciprokösszege, ...)
Otthoni meggondolásra
Maradnak a mókusok, a kocka, ...
Egy 10x10-es négyzetrácsból álló telek 9 négyzete gyomos. Egy újabb mező gyomos lesz, ha legalább két szomszédja az. Begyomosodik-e az egész telek?
Egy négyzet csúcsaiba beírunk egy-egy számot. Egy lépésben két szomszédos csúcsba írt számot növelhetjük eggyel. Elérhető, hogy minden csúcsban ugyanaz a szám álljon? Ha igen, hány lépésben? i) 1;0;0;0 ii) 1;0;1;0 iii) 2;1;3;4 iv) Milyen feltételt adhatunk a csúcsokba írt számokra, hogy a kitűzött cél megvalósítható legyen?
Az órán félbemaradt feladatot kitettem levezetve. (Egy két egység kerületű egyenlő szárú háromszög területe mikor lesz maximális?)
A gyémánt ára arányos a tömegével. Az ékszerésznek n db-ra kell vágni. Hogyan vágja fel az m tömegű gyémántot, ha azt szeretné, hogy az összérték maximális legyen?
A K kerületű háromszögek közül melyikben lesz a súlyvonalak négyzetösszege minimális?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.07.
ZH
Otthoni meggondolásra a ZH feladatai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.14.
Órán megbeszéltek
Invariancia, feladatok
Közepek, feladatok
Egy vándor betér egy fogadóba. Nincs nála pénz, csak egy 7 cm hosszú, 4 mm átmérőjű aranyrúd. A fogadós elfogadja, hogy a vándor egy éjszakára egy darab 1 cm hosszú aranyrúddal fizet. A vándor hét napot szeretne maradni. A fogadós a megkapott aranyardakkal vissza is tud adni. Hány vágással ossza fel az aranyrudat, hogy a legkevesebb vágásra legyen szükség?
Az előző feladat, de 7 szemből álló aranylánccal.
Hogyan lehet Venn-diagramot rajzolni? (három darabos, négy darabos)
Otthoni meggondolásra
Egy sakktáblán hányféleképpen helyezhetünk el egy a) két egyforma, b) két különböző bástyát? - Milyen sakktábla? Szimmetriái?
... és ha nem lehetnek ütési pozícióban? Legfeljebb hány bástyát helyezhetünk el úgy, hogy ne üssék egymást?
Egy matematikaversenyen a versenyzők 85%-a megoldotta az első, 80%-a a második és 75%-a a harmadik feladatot. Legalább hányan oldották meg mindhárom feladatot? (Lehetséges a megoldás?)
Egy 33-as osztályban minden gyerek minden nap sportol, mégpedig 22-en mennek úszásra, 22-en mennek focizni. Akik ma focizni mentek, azok közül tegnap 15-en fociztak, 15-en pedig úsztak. A ma úszók közü tegnap ugyancsak 15-en úsztak és 15-en fociztak. Hányan vannak azok, akik ma is, tegnap is voltak úszni?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.20.
Órán megbeszéltek
Sorban 17 bab, el lehet venni 1 vagy 2 szomszédost. Az nyer, aki az utolsót elveszi. Kinek van nyerő stratégiája? n db bab esetén? Mi a stratégia?
Az előző feladat, de körben vannak a babok?
21 bab egy kupacban. Felváltva húzunk 1-2-3 babot. Az nyer, aki utolsónak vesz. Most ki nyerhet? Mi a stratégia? n bab esetén?
n bab, 2-3-4-5-öt lehet elvenni. i) Az nyer, aki utolsónak vesz. ii) Az vezt, aki az utolsót elveszi. Stratégia?
p^n babot vehetünk el. Stratégia? (p prím)
2^k db babot lehet elvenni. Stragétia?
Melyik milyen oszthatóságot vezet be? Maradékok? Mire egészítsük ki? Milyen a végjáték? Egyáltalán, mi a vége? "Hátulról" kezdjünk neki!
Mindig van valakinek nyerő stragétiája?
Otthoni meggondolásra
21 kavics egy kkupacban. Felváltva húzunk 1-2-3 kavicsot. Az nyer, aki utolsónak vesz el két kavicsot. Most ki nyerhet? Mi a stratégia? n bab esetén?
További NIM-játékok. (2, 3, ..., n kupac bab, ...)
Plusz pontért: Fibonacci-NIM. 1 kupac bab, felváltva min. egyet el kell venni, de legfeljebb az előző játékos által húzott kétszeresét. az nyer, aki az utolsót elveszi. A kezdő tetszőleges számút elvehet. Részletes magyarázat kell leírva.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.11.27.
Órán megbeszéltek
Aranyrudas és aranyláncos feladatok
Két haramia osztozkodik: 1-et nekem, 2-t neked, 3-at neked, 4-et nekem, ... Lehet ez igazságos? Milyen n-ek esetén?
Öt szám páronként vett összegei: -7, -4, -1, -1, 2, 2, 2, 5, 5, 8. Határozzuk meg a számokat!
Egy teknőc hat percig mozog egy egyenes mentén. Az út mentén megfigyelők állnak: i) minden megfigyelő pontosan egy percig folyamatosan nézi a teknőc mozgását, ii) minden pillanatban legalább egy ember figyeli a teknőcöt. Mindegyi megfigyelő azt állapítja meg, hogy 1 métert haladt előre a teknőc. Mekkora a minimális, ill. maximális távolság, amit a teknőc a hat perc alatt megtehetett?
Egy kígyó a fejétől a farkáig 5 lépés, farkától a fejéig 15 lépés. Milyen hosszú a kígyó?
Egy favágó fatörzset húz. A szembe jövő turista mellett elhaladva 12 lépés hosszúnak találja, majd megfordul, s leméri visszafelé is. Ekkor 17 lépés a fatörzs. Milyen hosszú a fatörzs valójában?
Két család, az Igaz és a Hamis 5 gyermeke: Cili, Lili, Vili, Juci és Saci. Az Igaz családban minden gyerek mindig igazat mond, a Hamis családban minden gyermek minden állítása hamis. Melyik gyermeknek mi lehet a vezetékneve, ha a következőket állítják:
Cili: Juci neve nem Igaz.
Juci: Vili és Cili testvérek.
Lili: Saci nem testvére Jucinak.
Saci: Vili vezetékneve Hamis.
Vili: Lili a Hamis család tagja.
Otthoni meggondolásra
Egy 36 emeletes ház emeleteiről tojást dobunk ki, hogy megtudjuk, melyik az a legmagasabb emelet, melyről a tojást kidobva az eltörik. Adott két tojás. Legkevesebb hány mérésből tudjuk megállapítani, hogy melyik emelet esetén törik el a tojás? (Ha egy emeletről ledobva eltörik, akkor feljebbről is, s ha pedig nem, akkor lejjebbről sem törik el. Minden tojás egyformán viselkedik.)
Egy rabnak a király szabadulást biztosít, s feleségül adja hozzá a lányt, ha meg tudja mondani, melyik ajtó mögött van a hölgy. Ha elvéti, s tigris van az ajtó mögött, akkor el sem tudjuk képzelni a következményeket. A király elmagyarázza, hogy ha a val oldali szobában (I. szoba) hölgy van, akkor aj ajtaján lévő felirat igaz, ha viszont ott tigris van, akkor a felirat hamis. A jobb oldali szobával (II. szoba) éppen ellenkező a helyzet. Természetesen lehetséges, hogy mindkét szobában hölgy van, s az is, hogy mindekettőben tigris, de lehet, hogy egy tigris, egy hölgy. Az I. szoba felirata: MINDKÉT SZOBÁBAN HÖLGY VAN. A II. szoba felirata: MINDKÉT SZOBÁBAN HÖLGY VAN. Melyik szobát válassza a rab?
KöMaL-feladatok, idei OKTV (2014. I. forduló, II. kategória)
Pisti és János egymással szemben indulnak biciklivel, a köztük lévő távolság 20 km. Pisti 15, Jancsi 20 km-t tesz meg óránként. Jancsi orráról az indulás pillanatában egy dongó felszáll, s átrepül Pisti orrára, majd vissza, s ismét oda, ... Egészen addig repül a dongó, míg végül a két kerékpáros nem találkozik. Hány km-t tesz meg a dongó, ha sebessége 60 km óránként?
Igaz-e, hogy ha egy társaságban a szőkék között gyakoribbak a kékszeműek, akkor a társaságban a kékszeműek között gyakoribbak a szőkék?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.12.05.
Órán megbeszéltek
Geometriai gondolatmenetek. (Szerkeszthetőség, számolás, megoldási ötletek, ... Különösen: egybevágósági transzformációk.)
Adott egy egyenlőszárú háromszög egyik szöge és a kerülete. Szerk. h.
Milyen utat fut be a fény A-ból B-be a tükröt érintve?
Adott egy szögtartomány, s benne egy pont. Rajzoljunk olyan szabályos háromszöget, melynek kp-ja az adott pont, s két csúcsa illeszkedik a szögszárakra!
Adott háromszögbe írjunk szabályos háromszöget, ha adott az egyik oldalon egy pont, mely a szabályos háromszög egy csúcsa!
Ajánlott a Geometriai Fgy.
Otthoni meggondolásra
Szerkessz háromszöget, ha adott a kerülete, egyik szöge, s az azt közrefogó oldalak közül az egyikhez tartozó magassága!
Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, amelynek az alaphoz tartozó magassága 4,2 cm, szárához tartozó magasága pedig 3,8 cm!
OKTV - 2015. I. ford. II. kat. feladatai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2014.12.12.
ZH megírása. A kijavított dolgozatok eredményeit kiteszem ismét a honlapra a Neptun-kódokkal. A dolgozatok megtekintése előzetes egyeztetéssel történik legkésőbb december 19-ig. Ezután beírásra kerülnek a megajánlott gyakorlati jegyek. (Egyeztetés: petiba68 kukac gmail.com, vagy 70/38-15-722) A legegyszerűbb az órarendemet megnézni. Az ELTÉ-s óráimban szívesen be is jövök az egyetemre...
Otthoni meggondolásra
A ZH feladatai.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Egy kalappal a vizsgákhoz!